Tarea2.- Definiciones

¿Qué es un Transformación Geométrica?

Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras.

Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición

Una transformación geométrica T es una función vectorial que asocia un píxel (x, y) a una nueva posición (x',y'). T se define con dos ecuaciones, una para cada componente:

x^’= T_x(x, y) y^’=T_y(x, y)

La transformación geométrica, se realiza en dos pasos: En el primero, es la transformación de las coordenadas de los píxeles que asocia las coordenadas de un píxel de la imagen de entrada a un punto de la imagen de salida. Los puntos de salida pueden calcularse como valores continuos, ya que la posición final del punto no tiene porque coincidir con la rejilla digital después de la transformación tras la transformación. El segundo paso consiste en encontrar el punto de la rejilla digital que corresponde al punto transformado y en calcular su intensidad. La intensidad del punto suele ser calculada mediante la interpolación del brillo de varios puntos en la vecindad de dicho punto. Las transformaciones geométricas se encuentran en el límite entre las transformaciones de punto y las transformaciones locales.

¿Cuales son las transformaciones geométricas básicas y como se definen?

Es un algoritmo el cual hace que nuestra figura original previamente definida cambie de forma o posicion, esto en un sistema de referencia de 3 dimensiones (3 ejes x, y, z).

Las transformaciones basicas y principales son la rotacion (gira la figura respecto un eje), la translacion (mueve la figura a cierta posicion) y el escalado (que permite cambiar las dimensiones original de la figura)

¿Qué es un espacio de Coordenadas Homogéneas?

Coordenadas Homogéneas

Todos estamos acostumbrados a utilizar coordenadas cartesianas para representar los vértices que definen a nuestra geometría. Es decir un punto es algo así:

P = ( x, y, z) y representa una determinada localización en un espacio 3D.

Pero cuando programamos Gráficos hablamos de puntos y de vectores y pueden confundirse en cuanto a representación. Si entendemos que un vector es una resta entre dos puntos...

Vector v = Punto1 - Punto2 = (x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (a, b, c)

y acaso (a, b, c) no parece también un punto ???

Por otra parte trabajaremos modelando geometría para luego transformarla....trasladándola a otra posición, rotándola respecto de un eje, escalándola para cambiar su tamaño...Estas son las llamadas transformaciones afines/rígidas/lineales. Dado que operamos usando matrices para efectuar estas transformaciones necesitamos modificarlas ligeramente por dos motivos:

• Para que no alteren de igual forma a un vector y a un punto, lo cual sería incorrecto.
• Para poder efectuar algunas transformaciones afines como la traslación, imposibles de efectuar multiplicando matrices si no se usan coordenadas homogéneas.

Es muy sencillo convertir un vector o un punto cartesiano a su representación homogénea. De hecho lo que se hace es añadir una nueva coordenada a las típicas XYZ. Añadimos la componente W de esta forma:

• Punto P1 = (x1, y1, z1) en cartesianas es P1 = (x1, y1, z1, w1) en homogéneas.
• Vector v = (a, b, c) en cartesianas es v = (a, b, c, w) en homogéneas.

Los valores típicos para la nueva componente son:

• W = 1, cuando tratemos con puntos.
• W = 0, cuando sean vectores.

Por tanto el caso anterior queda modificado de la siguiente manera:

• Punto P1 = (x1, y1, z1, 1) en homogéneas.
• Vector v = (a, b, c, 0) en homogéneas.